Городская Жаутыковская олимпиада, 9 класс, 2010 год

Функция $f$ определена на промежутке $[0;1)$ по следующему правилу: $$f(x) = \left\{ \begin{gathered} x + \dfrac{{2 - \sqrt 2 }}{2},{\text{при }}x \in [0;\sqrt 2 /2), \\ x - \dfrac{{\sqrt 2 }}{2},{\text{ при }}x \in [\sqrt 2 /2;1). \\ \end{gathered} \right.$$ Докажите, что для любого интервала $\left( a;b \right)\subset [0;1)$ найдутся точка $x$ из этого интервала и такое натуральное $n$, что точка $f(f\left( f\left( \ldots f\left( x \right) \right)\ldots \right)$ ($n$ пар скобок) находится в интервале $\left( a;b \right)$.