Қалалық Жәутіков олимпиадасы 9 сынып, 2010 жыл

$f$ функциясы $[0;1)$ аралығында келесі шарттармен анықталған: \[f(x) = \left\{ \begin{gathered} x + \dfrac{{2 - \sqrt 2 }}{2},{\text{\ егер }}x \in [0;\sqrt 2 /2), \hfill \\ x - \dfrac{{\sqrt 2 }}{2},{\text{ егер }}x \in [\sqrt 2 /2;1). \hfill \\ \end{gathered} \right.\]
Кез келген $\left( a;b \right)\subset [0;1)$ интервалынан $f(f\left( f\left( \ldots f\left( x \right) \right)\ldots \right)$ ($n$ рет) нүктесі $\left( a;b \right)$ интервалында жататындай $x$ нүктесі мен натурал $n$ саны табылатынын дәлелдендер.