Городская Жаутыковская олимпиада, 8 класс, 2010 год

На сторонах $AB$, $BC$, $CD$ и $DA$ квадрата $ABCD$ отмечены точки ${{A}_{1}},{{B}_{1}},{{C}_{1}}$ и ${{D}_{1}}$ соответственно. Докажите, что если отрезки ${{A}_{1}}{{C}_{1}}$ и ${{B}_{1}}{{D}_{1}}$ перпендикулярны, то $A{{A}_{1}}+C{{C}_{1}}=B{{B}_{1}}+D{{D}_{1}}$.

Комментарий/решение

Ну тут квадрат, координатный метод здесь более чем уместен

1)Введем систему координат, связанную с углом $A$

Пусть $A(0;0);B(0;a);C(a;a);D(a;0);A_1(0;k);B_1(t;a);C_1(a;m);D_1(x_D;0)$

Будем считать известными все координаты, кроме $x_D$

2)По условию $\overrightarrow{A_1C_1}\bot \overrightarrow{B_1D_1}\Rightarrow \overrightarrow{A_1C_1}\cdot \overrightarrow{B_1D_1}=0$

3)Раскроем скалярное произведение (2)

$$\overrightarrow{A_1C_1} = (a;m-k);\;\;\;\overrightarrow{B_1D_1} = (x_D - t;- a)$$

$$\overrightarrow{A_1C_1}\cdot \overrightarrow{B_1D_1}=0 = a\cdot (x_D - t) + (m-k)\cdot (-a)$$

$$x_D = t-k+m$$

4) $$AA_1 = k;CC_1 = a-m$$

$$BB_1 = t;DD_1 = a - x_D = a - t + k - m$$

$$AA_1 +CC_1 = k + a - m;BB_1 + DD_1 = t+a-t+k-m = k+a-m$$

Утверждением (4) задача доказана

Пусть $BG,BF$ параллельны $A_{1}C_{1}, B_{1}D_{1}$ где $G \in CD, F \in AD$ тогда $\angle FBD = 90^{\circ}$ значит $\angle ABF = \angle CBG$ откуда $ABF, CBG$ треугольники равны или $A_{1}C_{1} = B_{1}D_{1}$

$AA_{1}=a, CC_{1}=b, BB_{1}=c, DD_{1}=d$ и $AB=x$ тогда

$A_{1}C_{1}^2 = (b-(x-a))^2+x^2$ и $B_{1}D_{1}^2 = (d-(x-c))^2+x^2$ откуда $a+b=c+d$