Қалалық Жәутіков олимпиадасы
8 сынып, 2011 жыл
Комментарий/решение:
1)Рассмотрим небольшую предзадачу.Рассмотрим прямоугольную трапецию MNOP (см.рис.2). Интересно для данной
фигуры найти положение точки R, дающее наименьший периметр треугольнику MRP.Так как точки M и P
фиксированы, задача сводится к (MR+PR)→min
2)По теореме Пифагора
f(a,b,c,x)=MR+PR=\sqrt{a^2+x^2}+\sqrt{b^2+(c-x)^2}
3)Ищем стационарные точки функции f(a,b,c,x)
\dfrac{\partial f}{\partial x} = \dfrac{x}{\sqrt{a^2+x^2}} - \dfrac{c-x}{\sqrt{b^2+(c-x)^2}}=0
Корни данного уравнения x_1 = \dfrac{ac}{a+b} и x_2 = \dfrac{ac}{a-b}\ge \dfrac{(a-b)c}{a-b}=c
По смыслу подходит только x_1. Остается проверить, правда ли полученная стационарная точка минимум
(взять вторую производную, и по ее знаку понять, min или max).По итогу проверки, получилось min.
4)Обозначим DE = a;HG=b;CE=L.Вместо того, чтобы сделать сразу условие P_{BDFH}\rightarrow \min,
потребуем отдельно минимума периметра треугольников \Delta DFH,\Delta BFH,\Delta BDF,\Delta BDH.
5)Тогда, для достижения минимального периметра \Delta DFH, расположим точку F так,
что EF = \dfrac{ac}{a+b};FG = \dfrac{bc}{a+b} (пункт 3)
6)Обозначим AB = x;AH = L-b. Чтобы периметр \Delta BFH оказался минимальным, также применим (3) к трапеции ABFG
HG = \dfrac{\dfrac{bc}{a+b}\cdot L}{\dfrac{bc}{a+b}+x}=b\;\rightarrow x=\dfrac{c}{a+b}\cdot (L-b)=AB
Отсюда BC=AC-AB=c-\dfrac{c}{a+b}\cdot (L-b)=\dfrac{c}{a+b}\cdot (a+2b-L)
7)Чтобы периметр \Delta BDF оказался минимальным, также применим (3) к трапеции BCEF
DE=\dfrac{EF\cdot L}{CB+EF}=a\Rightarrow a=\dfrac{\dfrac{ac}{a+b}\cdot L}{\dfrac{c}{a+b}\cdot (2a+2b-L)}
Данное уравнение сводится к L=a+b.
8)При условии L=a+b четырехугольник BDFG - параллелограм. Доказательство: \Delta BAH = \Delta FED по двум катетам, значит, BH=DF.
И правда,AB=\dfrac{(L-b)c}{a+b}=\dfrac{ac}{a+b}=EF
Аналогично \Delta BCD = \Delta FGH по двум катетам, значит, BD=HF.
Из попарного равенства противоположных сторон BDFG следует, что BDFG- параллелограм.
9)Посчитаем периметр BDFG при условии L=a+b
P_{BDFH}=2\cdot (DF+HF) = 2\cdot\left(\sqrt{a^2+\dfrac{a^2c^2}{L^2}}+\sqrt{b^2+\dfrac{b^2c^2}{L^2}} \right)
P_{BDFH}=2\cdot\left(\dfrac{a}{L}\sqrt{L^2+c^2}+\dfrac{b}{L}\sqrt{L^2+c^2} \right)=2\cdot\dfrac{a+b}{L}\sqrt{L^2+c^2}=2\sqrt{L^2+c^2}
Остается заметить, что \sqrt{L^2+c^2} - это длина диагонали.
Вывод: Показано, что наименьший периметр искомого четырехугольника не меньше 2 длин диагоналей. Утверждение задачи доказано полностью.
Пусть вершины четырёхугольника E,F,G,H лежат на сторонах AB,AC,CD,DB прямоугольника ACDB. Пусть I,J симметричны H относительно B и C, соответственно. Тогда P_{EFGH}=EF+FG+GH+HE=(FE+EI)+(FG+GH)\ge FI+FJпо неравенству ломаной для FEI и FGJ. Также имеем IJ=2BD
Для фиксированного F докажем, что FI+FJ достигает минимума, когда H - основание перпендикуляра из F и при этом FI=FJ(на чертеже C,A,B это F,I,J, соответственно)
Пусть M - основание перпендикуляра из C, A' симметрична A относительно M, N - середина A'B, D на прямой CN такова, что CN=ND. Тогда A'CBD параллелограмм, откуда CA+CB=CA'+CB=CA'+A'D\ge CD=2CNЗаметим, что 2MN=AB, то есть N фиксированно, что требовалось. Осталось лишь показать, что если FG+FI достиг минимума, то FI=FG=AD, что совсем несложно
Возможно, что при неправильном наборе формул, они будут
доредактированы модератором. При этом содержание не будет меняться.