Қалалық Жәутіков олимпиадасы
8 сынып, 2011 жыл
Комментарий/решение:
1) Достроим △ABC до равностороннего △AMC. По построению ∠ACM=60∘;∠AMC=60∘
2) Опустим перпендикуляр из вершины M на сторону AC . Имеем MF⊥AC;F∈AC
3)DW− биссектриса угла ∠KDC. DW∩MF=E
4)AF=FC по св-ву равностороннего треугольника (MF− высота △AMC, но она же и биссектриса, и медиана)
5)∠ABK=180∘−(∠BAK+∠AKB)=180∘−(60∘+90∘)=30∘
6) Из [5] следует, что ∠LDB=180∘−(∠DLB+∠ABK)=180∘−(30∘+90∘)=60∘
7)∠LDB=∠KDC=60∘, как вертикальные.
8)∠KDW=∠CDW=∠KDC2=60∘2=30∘, ведь DW− биссектриса
9) Из [8] следует, что ∠KWD=180∘−(∠DKW+∠KDW)=180∘−(90∘+30∘)=60∘
10) Из [9] и [1] следует, что ∠DWK=∠MCA=60∘⇒DW∥MC
11)Из [10] следует, что EDMC−трапеция
12) BK⊥AC по условию; MF⊥AC по построению ⇒BK∥MF
13) Из [12] следует, что ∠KDE=∠DEM=30∘ как накрест лежащие
14) В [10] показано, что DW∥MC⇒∠DEM=∠EMC=30∘;∠EDC=∠DCM=30∘ (∠EMC=30∘ можно получить и из [4])
15) Пусть DC∩MF=Z. Тогда △MZC равнобедренный (это следует из [14],ведь углы при основании MC равны)
16)△DZE равнобедренный (это следует из [14],ведь углы при основании равны)
17) Из [15,16] следует, что DZ=ZE;MZ=ZE⇒DZ+MZ=ZE+ZC⇒DC=ME
18)CL− высота △AMC (ведь CL⊥AB); MF−также высота △AMC
CL=MF, ведь △AMC− равносторонний
19)Из [18,17] следует, что DL=EF. Ведь CL=DL+DC;MF=EF+ME
В то же время CL=MF[18];DC=ME[17]
20)ML=AL=AF=FC. Это следует из того, что AM=AC и CL,MF− высоты в равностороннем △AMC⇒ они же и медианы/
21) Покажем, что △DLM=△DLA=△EFA=△EFC по 2 катетам
Из [19]⇒DL=EF
Из [20]⇒ML=AL=AF=FC⇒ равенство [21] доказано
22) ∠DMC=∠AMC−∠LMD=60∘−∠LMD
∠ECM=∠ACM−∠FCE=60∘−∠FCE
Из равенства [21]⇒△DLM=△FCE⇒∠LMD=∠FCE⇒∠DMC=∠ECM
23) Из [22]⇒EDMC−равнобедренная трапеция (так как углы при основании равны). Значит, EC=DM
24) Из [22]⇒BK∥MF⇒DBME−трапеция
25)Из [13]⇒∠DEM=30∘;
∠BME=∠AMF=30∘(так как MF− высота в равностороннем △AMC, она же и биссектриса)
∠DEM=∠BME
26) Из [25,24] следует, что DBME−равнобедренная трапеция
27) Из [26]⇒DM=BE
28) Из [27]⇒DM=BE;Из[21]\Rightarrow AE=EC;Из [23]⇒EC=DM
В итоге, AE=EC=DM=BE
Заключение. Так как AE=BE=CE,очевидно, что E− центр описанной окружности ∠ABC. С другой стороны, E лежит на биссектрисе DW. Значит, утверждение задачи доказано.
Возможно, что при неправильном наборе формул, они будут
доредактированы модератором. При этом содержание не будет меняться.