Қалалық Жәутіков олимпиадасы 9 сынып, 2009 жыл

Қабырғалары $a=\frac{{{2}^{2000}}}{{{3}^{999}}}$, $b=\frac{{{2}^{2002}}}{{{3}^{1000}}}$, $c=\frac{5\cdot {{2}^{2000}}}{{{3}^{1000}}}$. болатын үшбұрыш берілген. Алғашында қабырғалары берілген үшбұрыштың медианаларына тең болатын үшбұрыш салынды. Келесіде қабырғалары салынған үшбұрыштың медианаларына тең үшбұрыш салынды. Одан кейін қабырғалары осы салынған үшбұрыштың медианаларына тең үшбұрыш, тағы сол сияқты қабырғалары бүтін санға тең үшбұрыш пайда болғанша үшбұрыштар салынды. Шыққан үшбұрыш тікбұрышты екенін дәлелдеңдер.

Комментарий/решение

Так как $a=3 \cdot \cfrac{2^{2000}}{3^{1000}}, \, b=4 \cdot \cfrac{2^{2000}}{3^{1000}}, \, c=5 \cdot \cfrac{2^{2000}}{3^{1000}}$, то исходный треугольник прямоугольный.

Медианы и стороны связаны соотношением: $m_{a}^2+m_{b}^2+m_{c}^2=\cfrac{3}{4}\left(a^2+b^2+c^2\right)$.

Значит, будет получен треугольник со сторонами $a=3, \, b=4, \, c=5$.