Қалалық Жәутіков олимпиадасы
9 сынып, 2009 жыл
Дөңес ABCD төртбұрышында∠BAC=∠DBC=30∘, ∠BCA=20∘ және ∠BDC=70∘. ABCD — трапеция екенін дәлелдеңдер.
посмотреть в олимпиаде
Комментарий/решение:
Пусть AOC равнобедренный треугольник ∠AOC=100∘ и AO=CO тогда пусть B такая точка, что BO=CO=BC и E′∈AC∩BO тогда ∠ABO=∠ABE′=70∘, ∠OBC=60∘,∠BCA=20∘ пусть CE=AE′ где E′∈AC тогда покажем что BE биссектриса ∠OBC, так как BE′BC=sin20∘sin100∘ , но EE′CE=EE′OE=sin20∘sin80∘ то есть BE′BC=EE′CE.
Пусть F такая что ABCF - параллелограмм и D∈BE∩AF покажем что ∠BDC=70∘, так как ∠ABE′=∠CFE=70∘ из-за симметрий AE′=CE
так же ∠CEF=180∘−30∘−100∘=50∘ и ∠DFC=180∘−(60∘+70∘)=50∘ то есть FECD вписанный, то есть ∠CFE=∠EDC=70∘
то есть ABCD нужный четырехугольник - трапеция, по построению BC||AD .
Возможно, что при неправильном наборе формул, они будут
доредактированы модератором. При этом содержание не будет меняться.