Loading [MathJax]/jax/output/SVG/jax.js

Қалалық Жәутіков олимпиадасы
8 сынып, 2009 жыл


ABCD (BCAD) трапецисының A және B бұрыштарының биссектрисалары M нүктесінде, ал C және D бұрыштарының биссектрисалары N нүктесінде қиылысады. BC=a, AD=b, AB=c, CD=d. MN кесіндісінің ұзындығын табыңдар.
посмотреть в олимпиаде

Комментарий/решение:

  2
3 года 8 месяца назад #

1) MAD=MAB (так как AM биссектриса, см. условие)

MBA=MBC (так как BM биссектриса, см. условие)

2) A+B=180 (сумма внутренних односторонних углов при параллельных прямых равна 180)

3) Из (2) следует, что

A+B=MAD+MAB+MBA+MBC

Из (1) следует, что

MAB+MBA=A+B2=1802=90

4) Из (3) следует, что BMA=90,ΔBMAпрямоугольный

5) C+D=180 (сумма внутренних односторонних углов при параллельных прямых равна 180)

6) Из (5) следует, что

C+D=NCB+NCD+NDC+NDA

С другой стороны

NCB=NCD (так как CN биссектриса, см. условие)

NDC=NDA (так как DN биссектриса, см. условие)

7) Из (6) следует, что

NCD+NDC=C+D2=1802=90

8) Из (7) следует, что CND=90,ΔCNDпрямоугольный

9) Пусть MAB=α;CDN=β. Тогда

AM=ccosα;DM=dcosβ

10) Пусть HM проекция M на AD;HN проекция N на AD. Тогда

AHM=AMcosα=ccos2α;AHN=NDcosβ=dcos2β

11) HMHN=ADAHMAHN=bccos2αdcos2β

12) MHM=AMsinα=ccosαsinα;

NHN=DNsinβ=dcosβsinβ;

13) По теореме Пифагора

MN=(HMHN)2+(MHMNHN)2

MN=(bccos2αdcos2β)2+(ccosαsinαdcosβsinβ)2

14) Вспомним формулы для синуса и косинуса двойных углов

sin2x=2sinxcosx;cos2x=1+cos2x2

Перепишем с учетом этого (13)

MN=(bc1+cos2α2d1+cos2β2)2+(csin2αdsin2β2)2

Если выразить cos2α,cos2β,sin2α,sin2β только от a,b,c,d, то формально задача будет решена

15) Для этого сделаем параллельный перенос : BDCD. Тогда DBCD параллелограмм (так как DBCD;BCDD)

16) Теорема: у параллелограмма противолежащие стороны равны. Откуда DD=a;BD=d

17) Рассмотрим ΔABD По теореме косинусов имеем

AB2+(AD)22ABADcos2α=(BD)2

c2+(ba)22c(ba)cos2α=d2

cos2α=d2+c2+(ba)22c(ba)

(BD)2+(AD)22BDADcos2β=(AB)2

d2+(ba)22d(ba)cos2β=c2

cos2β=c2+d2+(ba)22d(ba)

18) Синусы углов альфа и бета получим из основного тригонометрического тождества

sin2α=1(d2+c2+(ba)22c(ba))2

sin2β=1(c2+d2+(ba)22d(ba))2

  1
3 года 8 месяца назад #

Пусть BK,CL - биссектрисы, причем K,LAD, имеем, что AK=AB=c,CD=DL=d,KL=bcd, а поскольку MN - средняя линия трапеции, MN=a+bcd2

  1
3 года 8 месяца назад #

Мне не очень очевидно, что MN средняя линия трапеции

Если не трудно, можете доказать это?

  1
3 года 8 месяца назад #

Нуу, M - середина BK, поскольку AB=AK,AM - биссектриса, значит и медиана, аналогично и для N

  2
3 года 8 месяца назад #

Понятно, спасибо!