Қалалық Жәутіков олимпиадасы
9 сынып, 2008 жыл
Егер кез-келген оң a, b, c сандары үшін abc=1 орындалса, онда 1a(a+1)+1b(b+1)+1c(c+1)≥32 теңсіздігін дәлелдеңіз.
посмотреть в олимпиаде
Комментарий/решение:
Обозначим сумму в левой части через S.Сделаем замену a=1/x, b=1/y и c=1/z. Тогда S=x2x+1+y2y+1+z2z+1. Также из условия задачи следует, что xyz=1 и, по неравенству о средних, x+y+z≥33√xyz⇔x+y+z≥3. Легко проверить правильность эквивалентных неравенств x2x+1≥3x−14⇔(x−1)24(x+1)≥0. Поэтому S=x2x+1+y2y+1+z2z+1≥3(x+y+z)−34≥3⋅3−34=32.
1a(a+1)+1b(b+1)+1c(c+1)≥33√abc(a+1)(b+1)(c+1),⇒3√(a+1)(b+1)(c+1)≤a+b+c+33, gde a+b+c≥33√abc=3, so 3√(a+1)(b+1)(c+1)≤2, а также заметим что 3√a+1≥1, поэтому 2≥3√(a+1)(b+1)(c+1)≥1, отсюда следует что 32≤33√(a+1)(b+1)(c+1)≤1a(a+1)+1b(b+1)+1c(c+1) поэтому, 1a(a+1)+1b(b+1)+1c(c+1)≥32
Возможно, что при неправильном наборе формул, они будут
доредактированы модератором. При этом содержание не будет меняться.