Loading [MathJax]/jax/output/SVG/jax.js

Қалалық Жәутіков олимпиадасы
9 сынып, 2008 жыл


Егер кез-келген оң a, b, c сандары үшін abc=1 орындалса, онда 1a(a+1)+1b(b+1)+1c(c+1)32 теңсіздігін дәлелдеңіз.
посмотреть в олимпиаде

Комментарий/решение:

пред. Правка 2   0 | Модератормен тексерілді
8 года 7 месяца назад #

Обозначим сумму в левой части через S.Сделаем замену a=1/x, b=1/y и c=1/z. Тогда S=x2x+1+y2y+1+z2z+1. Также из условия задачи следует, что xyz=1 и, по неравенству о средних, x+y+z33xyzx+y+z3. Легко проверить правильность эквивалентных неравенств x2x+13x14(x1)24(x+1)0. Поэтому S=x2x+1+y2y+1+z2z+13(x+y+z)343334=32.

пред. Правка 3   2
1 года 5 месяца назад #

1a(a+1)+1b(b+1)+1c(c+1)33abc(a+1)(b+1)(c+1),3(a+1)(b+1)(c+1)a+b+c+33, gde a+b+c33abc=3, so 3(a+1)(b+1)(c+1)2, а также заметим что 3a+11, поэтому 23(a+1)(b+1)(c+1)1, отсюда следует что 3233(a+1)(b+1)(c+1)1a(a+1)+1b(b+1)+1c(c+1) поэтому, 1a(a+1)+1b(b+1)+1c(c+1)32