Городская Жаутыковская олимпиада, 9 класс, 2008 год

Решите уравнение: $\left( 1+x+{{x}^{2}} \right)\left( 1+x+\ldots +{{x}^{10}} \right)={{\left( 1+x+\ldots +{{x}^{6}} \right)}^{2}}.$

Комментарий/решение

$$a^n-b^n=(a-b)(a^{n-1}+a^{n-2}b+a^{n-3}b^2+..+b^{n-3}a^2+b^{n-2}a+b^{n-1})$$

$$(1-x)(1+x+x^2)(1-x)(1+x+...+x^{10})=(1-x)^2\cdot (1+x+..+x^6)^2\Rightarrow$$

$$\Rightarrow (1-x^3)(1-x^{11})=(1-x^7)^2\Rightarrow$$

$$\Rightarrow 1-x^{11}-x^3+x^{14}=1-2\cdot x^7+x^{14}\Rightarrow$$

$$x^{11}-2x^7+x^3=0 \Rightarrow x^3(x^4-1)^2=0 \Rightarrow x_1=0, x_2=1, x_3=-1$$

$(\frac{x^3-1}{x-1})*(\frac{x^{11}-1}{x-1}) = (\frac{x^7-1}{x-1})^2, x \not = 1 \Rightarrow (x^3-1)(x^{11}-1)=(x^7-1)^2$, skazhem $x \not = 0$ chtobi sokratit na $x^3, \Rightarrow (x^4-1)^2 = 0, x = 1, \emptyset$, znachit tok x = 0