Городская Жаутыковская олимпиада, 7 класс, 2008 год

В прямоугольном треугольнике $ABC$ проведены биссектрисы $AP$ и $BQ$ из вершин острых углов. Точки $D$ и $E$ — основания перпендикуляров опущенных из $Q$ и $P$ на гипотенузу$AB$. Найдите угол $DCE$.

Комментарий/решение

Ответ:$ 45^{\circ}$

1)Вокруг четырёхугольника $ACPE$ можно описать окружность. Это следует из того, что $\angle ACP=90^{\circ};\angle AEP=90^{\circ}$.

$\angle ACP$ прямой из условия ($\triangle ABC$-прямоугольный).

$\angle AEP$ прямой из условия (так как $PE\bot AB$)

Теорема: четырёхугольник можно вписать в окружность тогда и только тогда, когда суммы противоположных углов равны $180^{\circ}$.

2) $\triangle BCQ=\triangle BDQ$. Это следует из признака равенства треугольников по стороне и двум углам

$BQ-$общая сторона; $\angle CBQ=\angle QBD$,ведь $BQ-$биссектриса угла $\angle CBA$

$\angle CQB=\angle BQD=180^{\circ}-90^{\circ}-\angle CBQ$

Отсюда ясно, что $QC=QD$

3)$\triangle ACP=\triangle AEP$. Это следует из признака равенства треугольников по стороне и двум углам

$AP-$общая сторона; $\angle CAP=\angle EAP$,ведь $AP-$биссектриса угла $\angle CAE$

$\angle CPA=\angle EPA=180^{\circ}-90^{\circ}-\angle CAP$

Отсюда ясно, что $CP=PE$

4) Из $CP=PE$ следует, что $\triangle CPE-$равнобедренный. По свойству равнобедренных треугольников имеем $\angle PCE=\angle PEC$

5) Если два вписанных угла опираются на одну дугу, и лежат в одной полуплоскости, то они равны. Отсюда $\angle CAP=\angle CEP$. Но, по утверждению $(4)$, получаем также и $\angle CPE=\angle CAP$.

6) Выясним, чему равен угол $\angle QCD$. Рассмотрим $\triangle CQD$. Из того, что он равнобедренный (из-за того, что $CQ=QD,(2)$), имеем $\angle QCD=\dfrac{180^{\circ}-2\angle CQB}{2}=90^{\circ}-\angle CQB=\angle QBC $. Это выражение следует из $\triangle QBC$

7) Заметим, что $\angle ACB=90^{\circ}=\angle QCD+\angle DCE+\angle PCE$. Покажем, что $\angle QCD+\angle PCE=45^{\circ}$. Тогда ясно, что искомый угол равен $45^{\circ}$.

$\angle PCE=0.5\angle CBA; \angle QCD=0.5\angle CAB;$

Сложим эти равенства $\angle PCE+\angle QCD=0.5(\angle CAB+\angle CBA)=0,5\cdot 90^{\circ}=45^{\circ}$