Қалалық Жәутіков олимпиадасы
7 сынып, 2008 жыл
Комментарий/решение:
Ответ:45∘
1)Вокруг четырёхугольника ACPE можно описать окружность. Это следует из того, что ∠ACP=90∘;∠AEP=90∘.
∠ACP прямой из условия (△ABC-прямоугольный).
∠AEP прямой из условия (так как PE⊥AB)
Теорема: четырёхугольник можно вписать в окружность тогда и только тогда, когда суммы противоположных углов равны 180∘.
2) △BCQ=△BDQ. Это следует из признака равенства треугольников по стороне и двум углам
BQ−общая сторона; ∠CBQ=∠QBD,ведь BQ−биссектриса угла ∠CBA
∠CQB=∠BQD=180∘−90∘−∠CBQ
Отсюда ясно, что QC=QD
3)△ACP=△AEP. Это следует из признака равенства треугольников по стороне и двум углам
AP−общая сторона; ∠CAP=∠EAP,ведь AP−биссектриса угла ∠CAE
∠CPA=∠EPA=180∘−90∘−∠CAP
Отсюда ясно, что CP=PE
4) Из CP=PE следует, что △CPE−равнобедренный. По свойству равнобедренных треугольников имеем ∠PCE=∠PEC
5) Если два вписанных угла опираются на одну дугу, и лежат в одной полуплоскости, то они равны. Отсюда ∠CAP=∠CEP. Но, по утверждению (4), получаем также и ∠CPE=∠CAP.
6) Выясним, чему равен угол ∠QCD. Рассмотрим △CQD. Из того, что он равнобедренный (из-за того, что CQ=QD,(2)), имеем ∠QCD=180∘−2∠CQB2=90∘−∠CQB=∠QBC. Это выражение следует из △QBC
7) Заметим, что ∠ACB=90∘=∠QCD+∠DCE+∠PCE. Покажем, что ∠QCD+∠PCE=45∘. Тогда ясно, что искомый угол равен 45∘.
∠PCE=0.5∠CBA;∠QCD=0.5∠CAB;
Сложим эти равенства ∠PCE+∠QCD=0.5(∠CAB+∠CBA)=0,5⋅90∘=45∘
Возможно, что при неправильном наборе формул, они будут
доредактированы модератором. При этом содержание не будет меняться.