Loading [MathJax]/jax/output/SVG/jax.js

Қалалық Жәутіков олимпиадасы
7 сынып, 2008 жыл


Тікбұрышты ABC үшбұрышының сүйір бұрыштарынан AP және BQ биссектрисалары жүргізілген. D және E нүктелері — Q және P нүктелерінен AB гипотенузасына түсірілген перпендикулярлардың табандары. DCE бұрышын табыңдар.
посмотреть в олимпиаде

Комментарий/решение:

  1
4 года 8 месяца назад #

Ответ:45

1)Вокруг четырёхугольника ACPE можно описать окружность. Это следует из того, что ACP=90;AEP=90.

ACP прямой из условия (ABC-прямоугольный).

AEP прямой из условия (так как PEAB)

Теорема: четырёхугольник можно вписать в окружность тогда и только тогда, когда суммы противоположных углов равны 180.

2) BCQ=BDQ. Это следует из признака равенства треугольников по стороне и двум углам

BQобщая сторона; CBQ=QBD,ведь BQбиссектриса угла CBA

CQB=BQD=18090CBQ

Отсюда ясно, что QC=QD

3)ACP=AEP. Это следует из признака равенства треугольников по стороне и двум углам

APобщая сторона; CAP=EAP,ведь APбиссектриса угла CAE

CPA=EPA=18090CAP

Отсюда ясно, что CP=PE

4) Из CP=PE следует, что CPEравнобедренный. По свойству равнобедренных треугольников имеем PCE=PEC

5) Если два вписанных угла опираются на одну дугу, и лежат в одной полуплоскости, то они равны. Отсюда CAP=CEP. Но, по утверждению (4), получаем также и CPE=CAP.

6) Выясним, чему равен угол QCD. Рассмотрим CQD. Из того, что он равнобедренный (из-за того, что CQ=QD,(2)), имеем QCD=1802CQB2=90CQB=QBC. Это выражение следует из QBC

7) Заметим, что ACB=90=QCD+DCE+PCE. Покажем, что QCD+PCE=45. Тогда ясно, что искомый угол равен 45.

PCE=0.5CBA;QCD=0.5CAB;

Сложим эти равенства PCE+QCD=0.5(CAB+CBA)=0,590=45