Городская Жаутыковская олимпиада, 7 класс, 2008 год

Имеется 10 отрезков, длины которых выражаются попарно различными натуральными числами, не превосходящими 80. Докажите, что среди этих отрезков найдутся три, из которых можно составить треугольник.

Комментарий/решение

$$a_1+a_2+a_3+...+a_{10}=S$$

$$a_1,a_2,a_3,...,a_{10}\leq 80$$

Неравенства треугольника: $a+b\leq c$

Рассматриваем пословательность в виде $a_n=n$

$a_n$ -длина отрезки

$$a_{n};a_{n+1};a_{n+2};...;a_{n+9}$$ $$a_{n};a_{n+1};a_{n+2};...;a_{n+9}\leq N$$

То среди этих отрезков найдутся три, из которых можно составить треугольник ($2n+c\leq n+t\Rightarrow 1\leq c\leq 19 \Rightarrow 1\leq t\leq 9$) $n,t,c\in N$

В нашем случай $N=80$

То можно взять пример который удовлетворяет систему

$$\left\{ \begin{gathered} a_{n}+a_{n+1}+a_{n+2}+...+a_{n+9}=S,\\ a_{n};a_{n+1};a_{n+2};...;a_{n+9}\leq N, \\ a_n=n,\\ \end{gathered} \right.$$

Например, $$a_n=n: a_8;a_{11};a_{13}; a_{15}.......;a_{20}\Rightarrow 8;11;15...;20$$