Қалалық Жәутіков олимпиадасы 9 сынып, 2007 жыл

Теңсіздікті дәлелдеңдер: $\dfrac{3}{2}({{a}^{4}}+{{b}^{4}}+{{c}^{4}})+24\ge 4{{a}^{2}}b+4{{b}^{2}}c+4{{c}^{2}}a,$ мұндағы $a,b,c$ — қандай да бір нақты сандар.

Комментарий/решение

$$2x^4+y^4+16=x^4+x^4+y^4+16\geq 4\sqrt[4]{x^4 \cdot x^4 \cdot y^4\cdot 16}=4x^2\cdot |y| \geq 4x^2y$$

$$ 3а^4+3b^4+3c^4+48 \geq 8a^2b+8b^2c+8c^2a \Leftrightarrow$$

$$\Leftrightarrow (2a^4+b^4+16) +(2b^4+c^4+16)+(2c^4+a^4+16)\geq 4a^2b+4b^2c+4c^2a$$