Городская Жаутыковская олимпиада, 9 класс, 2007 год

Может ли число вида: а) $\underbrace{11...1}_{2007}2\underbrace{11...1}_{2007}$; б) $\underbrace{11...1}_{2008}2\underbrace{11...1}_{2008}$ быть простым?

Комментарий/решение

a) $A=\underset{2007}{\underbrace{11...1}}2\underset{2007}{\underbrace{11...1}}.$

$A=\underset{2008}{\underbrace{11...1}}\underset{2007}{\underbrace{00...0}}+\underset{2008}{\underbrace{11...1}}=\underset{2008}{\underbrace{11...1}}\cdot 10^{2007}+\underset{2008}{\underbrace{11...1}}=\underset{2008}{\underbrace{11...1}}\left ( 10^{2007}+1 \right ).$

б) $B=\underset{2009}{\underbrace{11...1}}\underset{2008}{\underbrace{00...0}}+\underset{2009}{\underbrace{11...1}}=\underset{2009}{\underbrace{11...1}}\cdot 10^{2008}+\underset{2009}{\underbrace{11...1}}=\underset{2009}{\underbrace{11...1}}\left ( 10^{2008}+1 \right ).$

Жай сан болмайды.