Городская Жаутыковская олимпиада, 8 класс, 2007 год

На какое наименьшее натуральное число надо умножить произведение $1!\cdot 2!\cdot 3!\cdot \ldots \cdot 12!$, чтобы полученное произведение стало квадратом некоторого натурального числа? ($n!=1\cdot 2\cdot 3\cdot \ldots \cdot n$)

Комментарий/решение

Если разложить какой то квадрат на его простые множители, можно заметить что множители будут иметь четные степени, что является фактом.

Соответсвенно и наше число должно иметь такие же свойства.

число 1!*....11! можно разложить как

2^56 * 3^26 * 5^11 * 7^6 * 11^2

умножив на 5, мы получим квадрат.