Loading [MathJax]/jax/output/SVG/jax.js

Қалалық Жәутіков олимпиадасы
9 сынып, 2006 жыл


A=90 болатын ABCD дөңес төртбұрышы берілген. C төбесінен AB және AD түзулеріне дейінгі қашықтық сәйкесінше AB және AD кесінділеріне тең. Төртбұрыштың диагональдары өзара перпендикуляр екенін дәлелдеңдер.
посмотреть в олимпиаде

Комментарий/решение:

  -1
8 года 8 месяца назад #

Треугольники ΔABC,ΔADC равнобедренные , откуда BAD=BCD=90 . Около четырёхугольника ABCD Можно описать окружность , откуда BDC=BAC откуда и вытекает что диагонали перпендикулярны .

  3
3 года 2 месяца назад #

Тут можно решить координатным методом

1)Известно: Скалярное произведение двух перпендикулярных векторов равно 0

2)Пусть точка A - начало координат, свяжем систему координат с лучами угла A

3)Тогда A(0;0);B(0;x)

4)Пусть проекция точки C на прямую AB будет точка H1=(0;x+y).Пусть проекция точки C на прямую AD будет точка H2

5)Расстояние от точки C до прямой AB по условию равно длине отрезка AB, то есть равно x. Отсюда координата точки

C(|AB|;YH1)C(x;x+y)

6)На всякий случай докажем, что AH1CH2 прямоугольник. Это следует из того, что все углы равны 90 - A - по условию, AH1C и AH1C - как проекции к прямой , оставшийся угол - по сумме углов в четырехугольнике

7) Из (6) - AH1=CH2=x+y. При этом по условию CH2=ADAD=x+yD(x+y;0)

8)BD=(x+y;x);AC=(x;x+y)

9)Рассчитаем скалярное произведение

BDAC=(x+y)x+(x)(x+y)=0

Получается, что диагонали перпендикулярны