Қалалық Жәутіков олимпиадасы
9 сынып, 2006 жыл
Комментарий/решение:
Тут можно решить координатным методом
1)Известно: Скалярное произведение двух перпендикулярных векторов равно 0
2)Пусть точка A - начало координат, свяжем систему координат с лучами угла ∠A
3)Тогда A(0;0);B(0;x)
4)Пусть проекция точки C на прямую AB будет точка H1=(0;x+y).Пусть проекция точки C на прямую AD будет точка H2
5)Расстояние от точки C до прямой AB по условию равно длине отрезка AB, то есть равно x. Отсюда координата точки
C(|AB|;YH1)⇒C(x;x+y)
6)На всякий случай докажем, что AH1CH2− прямоугольник. Это следует из того, что все углы равны 90∘ - ∠A - по условию, ∠AH1C и ∠AH1C - как проекции к прямой , оставшийся угол - по сумме углов в четырехугольнике
7) Из (6) - AH1=CH2=x+y. При этом по условию CH2=AD⇒AD=x+y⇒D(x+y;0)
8)→BD=(x+y;−x);→AC=(x;x+y)
9)Рассчитаем скалярное произведение
→BD⋅→AC=(x+y)⋅x+(−x)⋅(x+y)=0
Получается, что диагонали перпендикулярны
Возможно, что при неправильном наборе формул, они будут
доредактированы модератором. При этом содержание не будет меняться.