Қалалық Жәутіков олимпиадасы
9 сынып, 2006 жыл
Екі натурал сан және оның кішісінің квадраты өспелі арифметикалық прогрессияның мүшелері болып келеді. Екінші санның квадраты да прогрессияның мүшесі болатынын дәлелдеңдер.
посмотреть в олимпиаде
Комментарий/решение:
1) Примем число a∈N первым членом данной прогрессии. Пусть b∈N и b>a. Тогда b=a+k⋅Δ,
где Δ− разность этой арифметической прогрессии
k∈N
2) Число a2− тоже член этой же прогрессии, поэтому представим в виде a2=a+m⋅Δ
3) Рассмотрим разность b2−a2
b2−a2=(b−a)⋅(b+a)→b2=a2+(b−a)⋅(b+a)
b2=a+m⋅Δ+(b−a)⋅(b+a)
b2=a+m⋅Δ+(a+k⋅Δ−a)⋅(b+a)
b2=a+m⋅Δ+(b+a)⋅k⋅Δ=a+(m+ak+bk)⋅Δ;(m+ak+bk)∈N
Таким образом, число b2− является членом данной арифметической прогрессии
Возможно, что при неправильном наборе формул, они будут
доредактированы модератором. При этом содержание не будет меняться.