Қалалық Жәутіков олимпиадасы 8 сынып, 2006 жыл

Массалары 1 г, 2 г, 3 г, 4г, …, 2005 г болатын 2005 гирь берілген. Осыларды әрбір топта гирьлердің саны бірдей және гирьлердің массаларының қосындысын бірдей етіп 5 топқа бөлуге бола ма?

Комментарий/решение

Всего имеется $2005$ гирь с массами $1, 2, 3, \dots, 2005$.

Нужно разделить их на $5$ групп так, чтобы в каждой группе было одинаковое количество гирь и одинаковая суммарная масса.

Общая масса всех гирь равна:

$1 + 2 + 3 + \dots + 2005 = \dfrac{2005 \cdot 2006}{2} = 2011015.$

Если делим на $5$ групп, то сумма масс каждой группы должна быть:

$\dfrac{2011015}{5} = 402203.$

Так как $2005 : 5 = 401$, то в каждой группе будет по $401$ гире.

Расположим все числа в таблицу из $401$ строки и $5$ столбцов:

$(1, 402, 803, 1204, 1605), (2, 403, 804, 1205, 1606), \dots, (401, 802, 1203, 1604, 2005)$

Теперь возьмём элементы «по диагонали»:

$G_1 = \{1, 403, 805, \dots\}$,

$G_2 = \{2, 404, 806, \dots\}$,

$\dots$

$G_5 = \{5, 407, 809, \dots\}.$

Каждая группа содержит ровно по одному числу из каждой строки, значит по $401$ числу.

Нетрудно проверить, что сумма чисел в каждой группе одинакова и равна $402203$.

Поэтому, можно