қазақша
русскийҚалалық Жәутіков олимпиадасы
7 сынып, 2006 жыл
Комментарий/решение:
1) Введем систему координат. Точка F(0;0) - начало координат, ось иксов направлена сонаправлено →FB, ось игреков - перпендикулярно →FB.
2) Пусть BF=a, тогда по условию BC=BF=a и B(a;0);C(−a;0)
3) Пусть D(b;c) . По условию DF=DA. Значит A(2b;2c);
4) Для выяснения координат точки E нужно решить систему E=CE∩BA
Вектор →CD:
→CD=(xD−xC;yD−yC)=(b+a;c)
Чтобы написать уравнение прямой CE, нужно задать вектор, перпендикулярный вектору →CD
5) Теорема: вектору →a=(x;y) перпендикулярен вектор →b=(−y;x)
6) Согласно (5), →nCD=(−c;b+a)
Уравнение прямой CD
CE:−c⋅x+(b+a)⋅y+CONSTCE=0
Подстановка точки A(−a;0)
CE:−c⋅(−a)+(b+a)⋅0+CONSTCE=0→CONSTCE=−c⋅a
Окончательно
CE:−c⋅x+(b+a)⋅y−c⋅a=0
7) Вектор →AB:
→AB=(xB−xA;yB−yA)=(a−2b;−2c)
Чтобы написать уравнение прямой AB, нужно задать вектор, перпендикулярный вектору →AB
→nAB=(2c;a−2b)
Уравнение прямой AB
AB:2c⋅x+(a−2b)⋅y+CONSTAB=0
Подстановка точки B(a;0)
AB:2c⋅a+(a−2b)⋅0+CONSTAB=0→CONSTAB=−2c⋅a
Окончательно
AB:2c⋅x+(a−2b)⋅y−2c⋅a=0
8) Собственно решение системы уравнений
{−c⋅x+(b+a)⋅y−c⋅a=02c⋅x+(a−2b)⋅y−2c⋅a=0
Домножим первое уравнение на 2, сложим их
{−2c⋅x+(2b+2a)⋅y−2c⋅a=02c⋅x+(a−2b)⋅y−2c⋅a=0
Результат : xE=a3+43⋅b;yE=4c3
9) Нужно получить связь между a,b,c. Её можно получить вычислив квадрат длины отрезка BD. С одной стороны BD2=a2 (см. условие). С другой стороны, по теореме Пифагора,
BD2=(xB−xD)2+(yB−yD)2=(a−b)2+c2
a2−2ab+b2+c2=a2→−2ab+b2+c2=0
10) Заключительный штрих: сравним AE2 и DE2
DE2=(xE−xD)2+(yE−yD)2=(a3+43⋅b−b)2+(4c3−c)2
DE2=a2+b2+c2+2⋅a⋅b9
AE2=(xE−xA)2+(yE−yA)2=(a3+43⋅b−2b)2+(4c3−2c)2
AE2=a2+4b2+4c2−4⋅a⋅b9
Используя связь (9), имеем
AE2−DE2=3b2+3c2−6ab9=3(b2+c2−2ab)9=0
То есть, AE=DE
_s.JPG)
Возможно, что при неправильном наборе формул, они будут
доредактированы модератором. При этом содержание не будет меняться.