Городская Жаутыковская олимпиада, 9 класс, 2005 год

Квадратный трехчлен $f\left( x \right)=a{{x}^{2}}+bx+c$, где $a,b,c$ — целые, $c$ — нечетное, имеет целые корни. Может ли $f\left( 2005 \right)$ быть нечетным числом?

Комментарий/решение

$$ax^2+bx+c=a(x-x_1)(x-x_2)$$ бұдан

$$c=a\cdot x_1\cdot x_2$$ екендігі шығады

$c$-тақ сан болғандықтан $a, x_1, x_2$ сандары да тақ сан болады. Сонда

$a(2005-x_1)(2005-x_2)$ саны жұп сан болады. Себебі, $x_1, x_2$ сандары тақ сан болғандықтан әр жақшаның іші жұп сан болады.

Жауабы: тақ сан болуы мүмкін емес.