Городская Жаутыковская олимпиада, 8 класс, 2005 год

Решите уравнение $a{{x}^{2}}+bx+b=0$, если известно, что его корни — целые числа.

Комментарий/решение

Теңдеудің екі жағын $a$-ға бөлеміз.

$ax^2+bx+b=0-/:a \Rightarrow x^2+\frac{bx}{a}+\frac{b}{a}=0.$

$x_{1}, x_{2}$ теңдеудің түбірлері болсын.

Виет теоремасы бойынша:

$\left\{ \begin{gathered}x_{1}+x_{2}=-\frac{b}{c},\\x_{1}\cdot x_{2}=\frac{b}{c}. \\\end{gathered} \right.$

Екі теңдеуді қосайық: $x_{1}+x_{2}+x_{1}\cdot x_{2}=-\frac{b}{a}+\frac{b}{a}=0.$

$x_{1}+x_{2}+x_{1}\cdot x_{2}=0$ теңдеуін бүтін сандар жиынында шешу керек.

$x_{1}+x_{2}+x_{1}\cdot x_{2}+1=1$

$(x_{1}+1)\left ( x_{2}+1 \right )=1.$

$1=1\cdot 1=(-1)\cdot (-1).$

$\left\{ \begin{gathered}x_{1}+1=1, x_{1}=0 \\x_{2}+1=1,x_{2}=0.\\\end{gathered} \right.$

$\left\{ \begin{gathered}x_{1}+1=-1, x_{1}=-2 \\x_{2}+1=-1,x_{2}=-2.\\\end{gathered} \right.$

Жауабы: $x_{1}=x_{2}=0, x_{1}=x_{2}=-2 . $