Қалалық Жәутіков олимпиадасы 7 сынып, 2005 жыл

$ABC$ үшбұрышының $AE$ биссектрисасы $EC$ кесіндісіне тең. Егер $AC=2AB$ болса, онда $ABC$ бұрышын табыңдар.

Комментарий/решение

Пусть $M$ - середина $AC$. Тогда треугольники $ABE$ и $AME$ равны по двум сторонам ($AM= \frac{AC}{2}=AB$) и углу между ними ($AE$ - биссектриса). Значит $∠ABE=∠AME$. Т.к. $EM$ - медиана равнобедренного треугольника $AEC$ ($AE=EC$), то $EM$ - его высота, т.е. $∠AME=90°$.

Итак, $∠ABC=∠ABE=∠AME=90°$.

Ответ: $∠ABC=90°$