Қалалық Жәутіков олимпиадасы
9 сынып, 2004 жыл
Комментарий/решение:
Көбейтіндіні қосындыға түрлендіру формуласы бойынша: cos(π20)cos(9π20)=12(cos(π2)+cos(2π5))=12cos(2π5).
cos(3π20)cos(7π20)=12(cos(π2)+cos(π5))=12cos(π5).
Сонда 12cos(π5)⋅12cos(2π5)=14cos(π5)⋅cos(2π5).
A=cos36∘,B=cos72∘ деп белгілейік.
A=cos36∘=cos(90∘−54∘)=sin54∘,B=cos72∘=cos(90∘−18∘)=sin18∘.
A−B=cos36∘−cos72∘=2sin54∘sin18∘=2AB.
Көбейтіндісін қарастырайық: AB=sin54∘sin18∘=sin18∘sin36∘sin54∘sin72∘sin36∘sin72∘=sin18∘sin36∘cos36∘cos18∘sin36∘sin72∘.
sin18∘cos18∘=sin36∘2,cos36∘sin36∘=sin72∘2.
Онда AB=sin36∘sin72∘2⋅2⋅sin36∘sin72∘=14.
Теңдеулер жүйесін шешсек:
A−B=2AB,AB=14,A>0,B>0 Оң түбірі A=1+√54. Онда B=√5−14.
cos36∘=1+√54,cos72∘=√5−14.
Бірінші қосылғыш: 14⋅1+√54⋅√5−14=116.
cos(π15)cos(4π15)=12(cos(π3)+cos(π5))=12(12+√5+14)=14+√5+18.
cos(2π15)cos(8π15)=12(cos(2π3)+cos(2π5))=12(−12+√5−14)=−14+√5−18.
Екінші қосылғыш: (14+√5+18)(−14+√5−18)=−116+√5−132−√5+132+464=−116−116+116=−116.
116−116=0.
sinαcosα=sin2α2⇔2nsinαcosαcos2α...cos2n−1α=sin2nα,
sinπ15cosπ20...+sinπ15cosπ15...=sinπ15cosπ20...+sin16π1516=sinπ15(cosπ20...−116),
16cosπ20cos3π20cos7π20cos9π20?=1,
4cosπ20cos9π20sinπ20sin9π20=sin2π20sin18π20=sin2π10(A),
4cos3π20cos7π20sin3π20sin7π20=sin23π10(B),
sin(π2−α)=cosα,
(A)⋅(B)?=116, что подтверждается надежным источником.
Возможно, что при неправильном наборе формул, они будут
доредактированы модератором. При этом содержание не будет меняться.