Loading [MathJax]/jax/output/SVG/jax.js

Қалалық Жәутіков олимпиадасы
9 сынып, 2004 жыл


Теңдікті дәлелдеңдер: cosπ20cos3π20cos7π20cos9π20+cosπ15cos2π15cos4π15cos8π15=0.
посмотреть в олимпиаде

Комментарий/решение:

пред. Правка 2   1
3 года 8 месяца назад #

Көбейтіндіні қосындыға түрлендіру формуласы бойынша: cos(π20)cos(9π20)=12(cos(π2)+cos(2π5))=12cos(2π5).

cos(3π20)cos(7π20)=12(cos(π2)+cos(π5))=12cos(π5).

Сонда 12cos(π5)12cos(2π5)=14cos(π5)cos(2π5).

A=cos36,B=cos72 деп белгілейік.

A=cos36=cos(9054)=sin54,B=cos72=cos(9018)=sin18.

AB=cos36cos72=2sin54sin18=2AB.

Көбейтіндісін қарастырайық: AB=sin54sin18=sin18sin36sin54sin72sin36sin72=sin18sin36cos36cos18sin36sin72.

sin18cos18=sin362,cos36sin36=sin722.

Онда AB=sin36sin7222sin36sin72=14.

Теңдеулер жүйесін шешсек:

AB=2AB,AB=14,A>0,B>0 Оң түбірі A=1+54. Онда B=514.

cos36=1+54,cos72=514.

Бірінші қосылғыш: 141+54514=116.

cos(π15)cos(4π15)=12(cos(π3)+cos(π5))=12(12+5+14)=14+5+18.

cos(2π15)cos(8π15)=12(cos(2π3)+cos(2π5))=12(12+514)=14+518.

Екінші қосылғыш: (14+5+18)(14+518)=116+51325+132+464=116116+116=116.

116116=0.

пред. Правка 2   1
8 месяца 29 дней назад #

sinαcosα=sin2α22nsinαcosαcos2α...cos2n1α=sin2nα,

sinπ15cosπ20...+sinπ15cosπ15...=sinπ15cosπ20...+sin16π1516=sinπ15(cosπ20...116),

16cosπ20cos3π20cos7π20cos9π20?=1,

4cosπ20cos9π20sinπ20sin9π20=sin2π20sin18π20=sin2π10(A),

4cos3π20cos7π20sin3π20sin7π20=sin23π10(B),

sin(π2α)=cosα,

(A)(B)?=116, что подтверждается надежным источником.