Математикадан аудандық олимпиада, 2007-2008 оқу жылы, 9 сынып

Табаны $AD$ болатын $ABCD$ трапециясы берілген. $M$ нүктесі $A$ және $B$ төбелеріндегі сыртқы бұрыштарының биссектрисаларының қиылысу нүктесі, ал $N$ нүктесі $C$ және $D$ төбелеріндегі сыртқы бұрыштарының биссектрисаларының қиылысу нүктесі. $MN$ кесіндісі трапеция периметрінің жартысына тең болатынын дәлелде.

Комментарий/решение

$$BC \parallel AD \Rightarrow \angle ABM=\beta \Rightarrow \angle AEM=\beta \Rightarrow \triangle ABE: AB =AE$$

$$\angle DCN= \gamma \Rightarrow \angle DKN= \gamma \Rightarrow \triangle DKC: DK=DC$$

$$\square EBCK: MN= \frac{EK+BC}{2}=\frac{AE+AD+DK+BC}{2}=$$

$$=\frac{AB+BC+CD+AD}{2}=\frac{\mathbb{P}}{2}\Rightarrow MN=\frac{\mathbb{P}}{2}$$