Loading [MathJax]/jax/output/SVG/jax.js

Қалалық Жәутіков олимпиадасы
7 сынып, 2003 жыл


Кез келген бір-біріне тең емес x,y,z сандары үшін келесі теңдікті дәлелдеңдер: x(y+z)(xy)(xz)+y(x+z)(yz)(yx)+z(x+y)(zx)(zy)=1.
посмотреть в олимпиаде

Комментарий/решение:

  2 | Модератормен тексерілді
7 года 9 месяца назад #

Для решения этой задачи необходимо знать формулу сокращенного умножения (ab)(a+b)=a2b2. Приведем множители к одному знаменателю , то есть к числу (xy)(xz)(yz).Получится x(y+z)(yz)y(x+z)(xz)+z(xy)(x+y)(xy)(xz)(yz)=1. После сворачивания числителя по формуле сокращенного умножения, имеем x(y2z2)y(x2z2)+z(x2y2)=(xy)(xz)(zy). Раскроем скобки . Левая часть xy2xz2yx2+yz2+zx2zy2 . Правая часть (xy)(xz)(zy)=(x2xz+xyyz)(zy)=xy2xz2yx2+yz2+zx2zy2отсюда следует, что исходное выражение тождество