Қалалық Жәутіков олимпиадасы
7 сынып, 2003 жыл
Кез келген бір-біріне тең емес x,y,z сандары үшін келесі теңдікті дәлелдеңдер: x(y+z)(x−y)(x−z)+y(x+z)(y−z)(y−x)+z(x+y)(z−x)(z−y)=−1.
посмотреть в олимпиаде
Комментарий/решение:
Для решения этой задачи необходимо знать формулу сокращенного умножения (a−b)(a+b)=a2−b2. Приведем множители к одному знаменателю , то есть к числу (x−y)(x−z)(y−z).Получится x(y+z)(y−z)−y(x+z)(x−z)+z(x−y)(x+y)(x−y)(x−z)(y−z)=−1. После сворачивания числителя по формуле сокращенного умножения, имеем x(y2−z2)−y(x2−z2)+z(x2−y2)=(x−y)(x−z)(z−y). Раскроем скобки . Левая часть xy2−xz2−yx2+yz2+zx2−zy2 . Правая часть (x−y)(x−z)(z−y)=(x2−xz+xy−yz)(z−y)=xy2−xz2−yx2+yz2+zx2−zy2отсюда следует, что исходное выражение тождество
Возможно, что при неправильном наборе формул, они будут
доредактированы модератором. При этом содержание не будет меняться.