Городская Жаутыковская олимпиада, 9 класс, 2002 год

Натуральный ряд 1, 2, 3, $\ldots$ разбит на несколько арифметических прогрессий. Докажите, что хотя бы у одной из этих прогрессий первый член делится на ее разность.

Комментарий/решение

Обозначим через $a_1$,$a_2$, ...,$a_n$ первые члены прогрессий, на которые разбит натуральный ряд, через $d_1$,$d_2$,...,$d_n$ – их разности. Произведение всех разностей $d_1$$d_2$...$d_n$ входит в одну из прогрессий (пусть i – номер этой прогрессии). Это означает, что для некоторого целого неотрицательного k выполнено равенство $d_1$$d_2$...$d_n$=$a_i$+$k$$d_i$. Из этого равенства следует, что $a_i$ делится на $d_i$