Городская Жаутыковская олимпиада, 7 класс, 2002 год

Доказать, что перпендикуляр, восставленный из середины гипотенузы прямоугольного треугольника с углом в $30{}^\circ$, равен $\dfrac{1}{3}$ большего катета.

Комментарий/решение

Пусть $\triangle ABC$- прямоугольный, с гипотенузой $AB$, причем угол $B$ равен 30 градусов. $AE=EB$ ; $AB$ перпендикулярно $EF$. Пусть $AC=x$, тогда $AC=AE=EB=CE=x$. Из треугольника $BEF$ находим $EF =x\cdot {tg 30} =\dfrac {x\sqrt 3}{3}$. Из треугольника $ABC$ получим $BC=x\sqrt 3$. Теперь ясна истинность утверждения.