Городская Жаутыковская олимпиада, 7 класс, 2002 год

Доказать, что перпендикуляр, восставленный из середины гипотенузы прямоугольного треугольника с углом в $30{}^\circ $, равен $\dfrac{1}{3}$ большего катета.

Комментарий/решение

Пусть $\triangle ABC $- прямоугольный, с гипотенузой $AB $, причем угол $B $ равен 30 градусов. $AE=EB $ ; $ AB $ перпендикулярно $EF $. Пусть $AC=x $, тогда $AC=AE=EB=CE=x $. Из треугольника $BEF $ находим $EF =x\cdot {tg 30} =\dfrac {x\sqrt 3}{3} $. Из треугольника $ ABC $ получим $BC=x\sqrt 3$. Теперь ясна истинность утверждения.