Қалалық Жәутіков олимпиадасы 7 сынып, 2002 жыл

Бұрышы $30{}^\circ$-қа тең тік бұрышты үшбұрыштың гипотенузасының ортасынан тұрғызылған перпендикуляр үлкен катеттің $1/3$-не тең екенін делелдеңдер.

Комментарий/решение

Пусть $\triangle ABC$- прямоугольный, с гипотенузой $AB$, причем угол $B$ равен 30 градусов. $AE=EB$ ; $AB$ перпендикулярно $EF$. Пусть $AC=x$, тогда $AC=AE=EB=CE=x$. Из треугольника $BEF$ находим $EF =x\cdot {tg 30} =\dfrac {x\sqrt 3}{3}$. Из треугольника $ABC$ получим $BC=x\sqrt 3$. Теперь ясна истинность утверждения.