Loading [MathJax]/jax/output/SVG/jax.js

Математикадан аудандық олимпиада, 2007-2008 оқу жылы, 8 сынып


Сүйірбұрышты ABC үшбұрышының AD биссектрисасы AC қабырғасына тең және OH кесіндісіне перпендикуляр, мұндағы O — сырттай сызылған шеңбердің центрі, ал H — үшбұрыш биіктіктерінің қиылысу нүктесі. Осы үшбұрыштың бұрыштарын тап.
посмотреть в олимпиаде

Комментарий/решение:

пред. Правка 2   3
3 года 11 месяца назад #

Моё решение использует метод координат, поэтому не может быть рассмотрено восьмиклассниками. Также прошу извинить за слишком занудный стиль - я люблю подробные решения. Буду рад , если продвинутые пользователи дадут более простое решение

1)Введем систему координат ,как на рисунке. Пусть длина отрезка AC=a, начало координат в точке A(0;0). Кроме того, ось иксов ориентирована перпендикулярно отрезку BC

2)По условию AD=AC. Это значит, что ACD равнобедренный

3)Пусть L точка пересечения оси X с BC. Тогда ALвысота, биссектриса и медиана для ACD (высота- по построению, ведь ось перпендикулярна стороне BC; биссектриса и высота - за счет свойства равнобедренного треугольника )

4)Непосредственно из пункта (3) следует , что LAC=LAD=α

5) Из условия (AD биссектриса) следует

DAB=DAC=LAC+LAC=2α

6)Наконец то все готово для вычисления координат точек треугольника ABC

C(acosα;asinα);B(acosα;asin3α);D(acosα;asinα)

7)Теперь нужно отыскать координату точки H. Заметим, что ALвысота треугольника ABC. Проведем высоту BB1. Тогда H=ALBB1

8)Уравнение прямой AL

AL:y=0

9)Нормалью для прямой BB1 может послужить любой перпендикулярный ей вектор, например AC=(acosα;asinα),Тогда уравнение прямой BB1 примет вид

BB1:acosαxasinαy+CBB1=0

10)Для вычисления константы в уравнении (9), подставим в него точку с известной координатой B

BB1:acosα(acosα)asinα(asin3α)+CBB1=0

CBB1=acosα(acosα)+asinα(asin3α)

Окончательно уравнение прямой BB1

BB1:acosαxasinαy+a2(sinαsin3αcos2α)=0

11)Для отыскания координат точки H остается подставить уравнение (8) в (10)

BB1:acosαxasinα0+a2(sinαsin3αcos2α)=0

xH=a(cos2αsinαsin3α)cosα;yH=0

12)Теперь остается вычислить координаты точки O

Для этого вспомним, что центр описанной окружности лежит на пересечении серединных перпендикуляров. Введем точки T и V такие, что

AT=TB;TAB;CV=VB;VCB

13)Координаты точки V:

xV=acosα;yV=yB+yC2=asin3αasinα2

Так как серединный перпендикуляр к стороне BC перпендикулярен BC, то он параллелен оси X, а значит уравнение серединного перпендикуляра через точку V будет

L2:y=asin3αasinα2

14)для серединного перпендикуляра к точке T (прямой L1) нормалью может служить вектор AB=(acosα;asin3α). Получаем

L1:acosαx+asin3αy+CL1=0

15)Для вычисления константы в уравнении (14), подставим в него точку с координатой T, предварительно вычислив ее

xT=xA+xB2=a2cosα;yT=yA+yB2=a2sin3α;

L1:acosαa2cosα+asin3αa2sin3α+CL1=0

CL1=a22(cos2α+sin23α)

16)В (15) подставим (13), получим координаты точки O

L1:acosαx+asin3αasin3αasinα2a22(cos2α+sin23α)=0

xO=a(cos2α+sinαsin3α)2cosα

yO=asin3αasinα2

17) Остается решить векторное уравнение OHAD=0 так как эти вектора по условию перпендикулярны, а скалярное произведение перпендикулярных векторов равно 0

пред. Правка 2   2
3 года 11 месяца назад #

18) Координаты векторов

AD=(acosα;asinα)

OH=(xHxo;yHyO)

19) Скалярное произведение

(xHxO)acosα+asinα(yHyO)=0

(a(cos2αsinαsin3α)cosαa(cos2α+sinαsin3α)2cosα)acosα+asinα(0a(sin3αsinα)2)=0

Домножаем выражение на 2a2

2cos2α2sinαsin3αcos2αsinαsin3αsinαsin3α+sin2α=0

Упростим при помощи основного тригонометрического тождества sin2α+cos2α=1

14sinαsin3α=0

Решив это уравнение, получаем одну четвертую искомого угла

α=18;A=418=72;C=90α=72;B=1807272=36

пред. Правка 2   3
3 года 11 месяца назад #

Пусть ω описанная окружность ABC и EADω и HAE=a,CAH=b

Лемма: Если в треугольнике ABC отрезок OHAE тогда BAC=60.

Доказательство: CAH=OAB тогда AO=AH так как AE биссектриса и высота AOH но OE||AH так как OE-серединный перпендикуляр , тогда AHO=EOH откуда по двум сторонам и углу между ними EO=EH и EB=EC так как AE биссектриса .

Допустим что EO=EB тогда a+b=30 и BEC=120 тогда ECH=2a+b+30 так как EO=EB тогда HEC=1204a2b тогда

AEC=902ab значит AEH=AECHEC=a то есть EA так же биссектриса OEH откуда AEOH

Решение: так как AD=AC тогда по лемме ACB=180302=75 и ABC=45