Городская Жаутыковская олимпиада, 11 класс, 2001 год

Про действительные числа $x,y,z > 1$ известно, что $\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}=2$. Докажите следующее неравенство: $$\sqrt{x+y+z}\ge \sqrt{x-1}+\sqrt{y-1}+\sqrt{z-1}.$$

Комментарий/решение

$\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=2\Rightarrow -\frac{1}{x}-\frac{1}{y}-\frac{1}{z}=-2\Rightarrow1-\frac{1}{x}+1-\frac{1}{y}+1-\frac{1}{z}=1\Rightarrow \frac{x}{x}-\frac{1}{x}+\frac{y}{y}-\frac{1}{y}++\frac{z}{z}-\frac{1}{z}\Rightarrow \frac{x-1}{x}+\frac{y-1}{y}+\frac{z-1}{z}=1.$

КБШ теңсіздігі бойынша:

$\left ( \sqrt{x}^2+\sqrt{y}^2+\sqrt{z}^2 \right )\left ( \sqrt{\frac{x-1}{x}}^2+\sqrt{\frac{y-1}{y}}^2+\sqrt{\frac{z-1}{z}}^2\right )\geq \left ( \sqrt{x-1}+\sqrt{y-1}+\sqrt{z-1} \right)^2.$

$\left ( x+y+z \right )\left ( \underset{1}{\underbrace{\frac{x-1}{x}+\frac{y-1}{y}+\frac{z-1}{z}}} \right )\geq \left ( \sqrt{x-1}+\sqrt{y-1}+\sqrt{z-1} \right)^2.$

$\left ( x+y+z \right )\geq \left ( \sqrt{x-1}+\sqrt{y-1}+\sqrt{z-1} \right)^2.$

$\sqrt{x+y+z}\geq\sqrt{x-1}+\sqrt{y-1}+\sqrt{z-1}.$