Городская Жаутыковская олимпиада, 11 класс, 2001 год

Задача №1. В лаборатории выращен особый вирус и бактерия. Известно, что за секунду вирус может съесть одну бактерию и разделится на два, а уцелевшая бактерия за каждую секунду тоже разделяется на два. Если известно, что в начале в пробирке было 2001 бактерия и 1 вирус, то после какого минимального времени в пробирке окажутся одни вирусы.
комментарий/решение(1)

Задача №2. В треугольнике

$ABC$ взята точка

$D$ таким образом, что

$\angle BDC=2\angle BAC$ . На отрезке

$CD$ выбрана такая точка

$E$ , что

$BD+DE=AE$ . Докажите, что

$\angle AEC=2\angle ABC$ .
комментарий/решение(1)

Задача №3. Найдите количество решений уравнения:

$\left[ \dfrac{a}{2} \right]+\left[ \dfrac{a}{3} \right]+\left[ \dfrac{a}{5} \right]=a.$
комментарий/решение(7)

Задача №4. Про действительные числа

$x,y,z > 1$ известно, что

$\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}=2$ . Докажите следующее неравенство:

$\sqrt{x+y+z}\ge \sqrt{x-1}+\sqrt{y-1}+\sqrt{z-1}.$
комментарий/решение(1)