қазақша
русскийГородская Жаутыковская олимпиада, 11 класс, 2001 год
Задача №1. В лаборатории выращен особый вирус и бактерия. Известно, что за секунду вирус может съесть одну бактерию и разделится на два, а уцелевшая бактерия за каждую секунду тоже разделяется на два. Если известно, что в начале в пробирке было 2001 бактерия и 1 вирус, то после какого минимального времени в пробирке окажутся одни вирусы.
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)
Задача №2. В треугольнике $ABC$ взята точка $D$ таким образом, что $\angle BDC=2\angle BAC$. На отрезке $CD$ выбрана такая точка $E$, что $BD+DE=AE$. Докажите, что $\angle AEC=2\angle ABC$.
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)
Задача №3. Найдите количество решений уравнения: $\left[ \dfrac{a}{2} \right]+\left[ \dfrac{a}{3} \right]+\left[ \dfrac{a}{5} \right]=a.$
комментарий/решение(7)
комментарий/решение(7)
Задача №4. Про действительные числа $x,y,z > 1$ известно, что $\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}=2$. Докажите следующее неравенство: $$\sqrt{x+y+z}\ge \sqrt{x-1}+\sqrt{y-1}+\sqrt{z-1}.$$
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)