Қалалық Жәутіков олимпиадасы
11 сынып, 2001 жыл

Есеп №1. Лабараторияда ерекше вирус пен бактерия өсіріліп шығарылған. Әр секундта вирус бактерияны жеп, екіге бөлінетіні, ал бактерия аман қалса, ол да екіге бөлінетіндігі белгілі. Егер пробиркада бастапқыда 2001 бактерия және 1 вирус болғаны белгілі болса, ең кем дегенде неше уақыттан кейін пробиркада ылғи вирустар қалуы мүмкін?
комментарий/решение(1)

---

Есеп №2. $ABC$ үшбұрышының ішінен $\angle BDC=2\angle BAC$ шартын қанағаттандыратын $D$ нүктесі алынған. $CD$ қабырғасының бойынан $BD+DE=AE$ болатындай $E$ нүктесі алынатын болса, $\angle AEC=2\angle ABC$ екенін дәлелдеңдер.
комментарий/решение(1)

---

Есеп №3. Келесі теңдеудің шешімдерінің санын анықтаңдар: $\left[ \dfrac{a}{2} \right]+\left[ \dfrac{a}{3} \right]+\left[ \dfrac{a}{5} \right]=a.$
комментарий/решение(7)

---

Есеп №4. $x,y,z > 1$ нақты сандары үшін $\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}=2$ шарты орындалатыны белгілі болса, онда келесі теңсіздікті дәлелдеңдер: $\sqrt{x+y+z}\ge \sqrt{x-1}+\sqrt{y-1}+\sqrt{z-1}.$
комментарий/решение(1)

---