Городская Жаутыковская олимпиада, 11 класс, 2001 год
Комментарий/решение:
Ответ :решений бесконечно много
1) a=6n,n∈Z, n не делится нацело на 5
2) a=10k;k∈Z;k не делится нацело на 3
3) a=15m;m∈Z; m не делится нацело на 2
Решение. Во первых, сумма целых чисел -целое число,то есть a∈Z. Теперь, чтобы выяснить, какие из целых чисел удовлетворяет, а какие -нет , построим три оси OX одна над другой. На первой оси отметим числа, кратные 2, на второй оси-кратные 3, на третьей оси-кратные 5. Если на одном числе 2 или 3 палочки,соединим эти числа. В числе 30 совпали все три палочки. После числа 30 цикл повторяется. Значит, вполне достаточно выяснить, почему какому принципу здесь находятся корни, и можно будет распространить это на всю ось OX. Корнями явились числа 6,12,18,24, но НЕ , 30$
корни 10,20, но НЕ 30;корни 15, но НЕ 30. Делаем гипотезу:корнями этого уравнения является
1) a=6n,n∈Z, где n не делится нацело на 5
2) a=10k;k∈Z;k не делится нацело на 3
3)a=15m;m∈Z; m не делится нацело на 2
Доказательство.
1)[6n2]+[6n3]+[6n5]=[3n]+[2n]+[115n]
Так как n не делится нацело на 5, то целая часть последнего слагаемое есть n
[6n2]+[6n3]+[6n5]=3n+2n+n=6n, что верно
Аналогично доказывается случаи 2 и 3
Заметим, что a – целое число. Его можно представить в виде a=30k+m единственным способом, где 0≤m<30, k и m – целые. Также имеет место следующее свойство: если число n целое, то [n+x]=n+[x].
Значит, [a2]+[a3]+[a5]=a, [15k+m2]+[10k+m3]+[6k+m5]=30k+m, откуда
15k+[m2]+10k+[m3]+6k+[m5]=30k+m, откуда k+[m2]+[m3]+[m5]=m, откуда
k=m−[m2]−[m3]−[m5]. То есть по любому заданному значению числа m (0≤m<30) однозначно определяется значение числа k, а вместе с ним решение уравнение, то есть число a. Так возможных значений числа m всего 30, то исходное уравнение будет иметь 30 решений.
Стоит также заметить что сие уравнение не имеет решений в целых числах вообще. Вы можете просто подставив эти числа дабы удостовериться, я проверил лишь одно но считаю что так оно и есть.
Возможно, что при неправильном наборе формул, они будут
доредактированы модератором. При этом содержание не будет меняться.