Loading [MathJax]/jax/output/SVG/jax.js

Городская Жаутыковская олимпиада, 11 класс, 2001 год


Найдите количество решений уравнения: [a2]+[a3]+[a5]=a.
посмотреть в олимпиаде

Комментарий/решение:

пред. Правка 2   -2
8 года 5 месяца назад #

Ответ :решений бесконечно много

1) a=6n,nZ, n не делится нацело на 5

2) a=10k;kZ;k не делится нацело на 3

3) a=15m;mZ; m не делится нацело на 2

Решение. Во первых, сумма целых чисел -целое число,то есть aZ. Теперь, чтобы выяснить, какие из целых чисел удовлетворяет, а какие -нет , построим три оси OX одна над другой. На первой оси отметим числа, кратные 2, на второй оси-кратные 3, на третьей оси-кратные 5. Если на одном числе 2 или 3 палочки,соединим эти числа. В числе 30 совпали все три палочки. После числа 30 цикл повторяется. Значит, вполне достаточно выяснить, почему какому принципу здесь находятся корни, и можно будет распространить это на всю ось OX. Корнями явились числа 6,12,18,24, но НЕ , 30$

корни 10,20, но НЕ 30;корни 15, но НЕ 30. Делаем гипотезу:корнями этого уравнения является

1) a=6n,nZ, где n не делится нацело на 5

2) a=10k;kZ;k не делится нацело на 3

3)a=15m;mZ; m не делится нацело на 2

Доказательство.

1)[6n2]+[6n3]+[6n5]=[3n]+[2n]+[115n]

Так как n не делится нацело на 5, то целая часть последнего слагаемое есть n

[6n2]+[6n3]+[6n5]=3n+2n+n=6n, что верно

Аналогично доказывается случаи 2 и 3

  0
8 года 5 месяца назад #

Почему решение неверно? Кто первый обьяснит-ставлю лайк). Я не заметил никаких ошибок. Решение пишу подробно и доступно.

  2
8 года 5 месяца назад #

Возможно здесь:

6n5=n+n5=n+n5

365=715=7

P. S. Чтобы скобки были больше, можно писать \left[ и \right]

пред. Правка 2   1 | проверено модератором
8 года 5 месяца назад #

Заметим, что a – целое число. Его можно представить в виде a=30k+m единственным способом, где 0m<30, k и m – целые. Также имеет место следующее свойство: если число n целое, то [n+x]=n+[x].

Значит, [a2]+[a3]+[a5]=a, [15k+m2]+[10k+m3]+[6k+m5]=30k+m, откуда

15k+[m2]+10k+[m3]+6k+[m5]=30k+m, откуда k+[m2]+[m3]+[m5]=m, откуда

k=m[m2][m3][m5]. То есть по любому заданному значению числа m (0m<30) однозначно определяется значение числа k, а вместе с ним решение уравнение, то есть число a. Так возможных значений числа m всего 30, то исходное уравнение будет иметь 30 решений.

  1
8 года 5 месяца назад #

Так а где это вы увидели что числа целые?

  2
8 года 5 месяца назад #

Левая часть уравнения состоит из целых слагаемых, значит aZ.

  0
8 года 5 месяца назад #

Стоит также заметить что сие уравнение не имеет решений в целых числах вообще. Вы можете просто подставив эти числа дабы удостовериться, я проверил лишь одно но считаю что так оно и есть.