Қалалық Жәутіков олимпиадасы 10 сынып, 2001 жыл

$ABC$ үшбұрышында $\angle A=3\angle C$. $D$ нүктесі $BC$ қабырғасында орналасқан және келесі қасиетке ие $\angle ADC=2\angle C$. $AB+AD=BC$ екенін дәлелдеңдер.

Комментарий/решение

Продлим за точку $A$ прямую $AB$ так что бы $AD'=AD$ , получим равнобедренный треугольник $D'AD$ , тогда угол $\angle D'AC= 180^{\circ}-3C=\angle DAC = 180^{\circ}-2C-C=180^{\circ}-3C$ то есть $AC$ биссектриса угла $\angle D'AD$ , $\Delta D'AC = \Delta DAC$ , тогда $\angle ACD'= \angle ACD$ , то есть треугольник $D'BC$ равнобедренный , значит $AB+AD'=AB+AD=BC$.