Loading [MathJax]/jax/output/SVG/jax.js

Қалалық Жәутіков олимпиадасы
9 сынып, 2001 жыл


Шеңберге іштей сызылған ABCD төртбұрышының қабырғаларының созындылары K және M нүктелерінде қиылысады. K және M бұрыштарының биссектрисалары төртбұрыш қабырғаларын төрт нүктеде қияды. Осы төрт нүкте ромбының төбелері болатынын дәлелдеңдер.
посмотреть в олимпиаде

Комментарий/решение:

  2
4 года 7 месяца назад #

1)Теорема: Сумма противоположных углов вписанного четырёхугольника равна 180

2)Теорема: У ромба диагонали пересекаются под прямым углом

3)Теорема: У ромба диагонали пересекают друг друга пополам.

4)Пусть AKT=DKT=α (KT биссектриса по условию).

Также пусть BME=AME=β (ME биссектриса по условию).

5)Обозначим угол BAD=φ

6) Так как ABCD вписанный в окружность, по теореме (1) имеем BAD+BCD=180BCD=180φ

7)Углы BCD и BCK смежные, а значит их сумма 180

BCD+BCK=180BCK=180(180φ)=φ

8)Рассмотрим KSC. Найдём в нём угол KSC

KSC+SCK+SKC=180KSC+BCK+DKT=180

KSC=180αφ

9) Углы PSC и KSC смежные, а значит их сумма 180

PSC+KSC=180BCK=180(180αβ)=α+φ

10)PSC=BSK=α+φ (как вертикальные)

11) Рассмотрим BSK. Найдём в нём угол KBS

BSK+BKS+KBS=180BSK+AKT+KBS=180

KBS=1802αφ

12)Углы KBS и EBS смежные, а значит их сумма 180

KBS+EBS=180EBS=180(1802αφ)=2α+φ

13) Рассмотрим BEM. Найдём в нём угол BEM

BEM+EBM+BME=180BEM+EBS+BME=180

BEM=1802αφβ

14) Углы AEM и BEM смежные, а значит их сумма 180

AEM+BEM=180AEM=180(1802αφβ)=2α+φ+β

15)Рассмотрим AEM. Просуммируем в нём углы.

AEM+AME+EAM=180BAD+AEM+AME=180

φ+(2α+φ+β)+β=180α+β+φ=90

16) Рассмотрим PSM. Просуммируем в нём углы.

SPM+PSC+BME=180

SPM+(α+φ)+β=180SPM=90

Здесь воспользовались фактом (15)

17) Рассмотрим KEV и MST. В них KP и MP соответственно являются одновременно биссектрисами (по условию) и высотами (доказано в (16)) То есть, KEV и MST равнобедренные, и EP=PV;SP=PT

18) Четырёхугольник ESVT удовлетворяет теоремам (2,3), значит, ESVT ромб

  1
3 года 10 месяца назад #

Легкое решение: PSC=BSK=180BKSSBK=180BKSTDK=180TKDTDK=STM,SM=TM, но MP - биссектриса, SP=PT and SPV=90, аналогично доказываем, что EP=PV, тогда ESVT - ромб.