Қалалық Жәутіков олимпиадасы
9 сынып, 2001 жыл
Комментарий/решение:
1)Теорема: Сумма противоположных углов вписанного четырёхугольника равна 180∘
2)Теорема: У ромба диагонали пересекаются под прямым углом
3)Теорема: У ромба диагонали пересекают друг друга пополам.
4)Пусть ∠AKT=∠DKT=α (KT− биссектриса по условию).
Также пусть ∠BME=∠AME=β (ME− биссектриса по условию).
5)Обозначим угол ∠BAD=φ
6) Так как ABCD− вписанный в окружность, по теореме (1) имеем ∠BAD+∠BCD=180∘→∠BCD=180∘−φ
7)Углы ∠BCD и ∠BCK− смежные, а значит их сумма 180∘
∠BCD+∠BCK=180∘→∠BCK=180∘−(180∘−φ)=φ
8)Рассмотрим △KSC. Найдём в нём угол ∠KSC
∠KSC+∠SCK+∠SKC=180∘→∠KSC+∠BCK+∠DKT=180∘
∠KSC=180∘−α−φ
9) Углы ∠PSC и ∠KSC− смежные, а значит их сумма 180∘
∠PSC+∠KSC=180∘→∠BCK=180∘−(180∘−α−β)=α+φ
10)∠PSC=∠BSK=α+φ (как вертикальные)
11) Рассмотрим △BSK. Найдём в нём угол ∠KBS
∠BSK+∠BKS+∠KBS=180∘→∠BSK+∠AKT+∠KBS=180∘
∠KBS=180∘−2α−φ
12)Углы ∠KBS и ∠EBS− смежные, а значит их сумма 180∘
∠KBS+∠EBS=180∘→∠EBS=180∘−(180∘−2α−φ)=2α+φ
13) Рассмотрим △BEM. Найдём в нём угол ∠BEM
∠BEM+∠EBM+∠BME=180∘→∠BEM+∠EBS+∠BME=180∘
∠BEM=180∘−2α−φ−β
14) Углы ∠AEM и ∠BEM− смежные, а значит их сумма 180∘
∠AEM+∠BEM=180∘→∠AEM=180∘−(180∘−2α−φ−β)=2α+φ+β
15)Рассмотрим △AEM. Просуммируем в нём углы.
∠AEM+∠AME+∠EAM=180∘→∠BAD+∠AEM+∠AME=180∘
φ+(2α+φ+β)+β=180∘→α+β+φ=90∘
16) Рассмотрим △PSM. Просуммируем в нём углы.
∠SPM+∠PSC+∠BME=180∘
∠SPM+(α+φ)+β=180∘→∠SPM=90∘
Здесь воспользовались фактом (15)
17) Рассмотрим △KEV и △MST. В них KP и MP соответственно являются одновременно биссектрисами (по условию) и высотами (доказано в (16)) То есть, △KEV и △MST− равнобедренные, и EP=PV;SP=PT
18) Четырёхугольник ESVT удовлетворяет теоремам (2,3), значит, ESVT− ромб
Возможно, что при неправильном наборе формул, они будут
доредактированы модератором. При этом содержание не будет меняться.