Городская олимпиада по математике среди физ-мат школАлматы, 2013 год

Дана бесконечная периодическая десятичная дробь вида $0,\!{{a}_{1}}{{a}_{2}}\ldots {{a}_{r}}({{b}_{1}}{{b}_{2}}\ldots {{b}_{s}})=\dfrac{m}{n}$, у которой до начала периодической части присутствует хотя бы один дробный разряд, где $m,n$ — натуральные числа. Докажите, что $n$ делится на 2 или на 5.

Комментарий/решение

Пусть в записи число

$a_{1}a_{2}...a_{r}=a$ и число в периоде $b$ тогда само число будет равно $ \dfrac{m}{n} = \dfrac{a}{10^r}+ \dfrac{b}{ 10^r(10^s-1)} = \dfrac{a(10^s-1)+b}{10^r(10^s-1)}$

Для того чтобы доказать что $n$ будет делится на 2 или 5 нужно доказать что

$a(10^s-1)+b \not \equiv \ 0 \ \mod \ 10^r$

число $a(10^s-1)$ максимум может оканчиваться $r-1$ нулями и $b$ имеет макс $s-1$ нулей, значит оно всегда будет иметь остаток, откуда и следует утверждение.