Математикадан Алматы қаласының олимпиадасы, 2013 жыл
r>0 бүтін саны және 0,a1a2…ar(b1b2…bs)=mn түріндегі шексіз периодты ондық бөлшек берілген, бұл жерде m,n — натурал сандар. n санының 2-ге немесе 5-ке бөлінетінін дәлелдеңіздер.
посмотреть в олимпиаде
Комментарий/решение:
Пусть в записи число
a1a2...ar=a и число в периоде b тогда само число будет равно mn=a10r+b10r(10s−1)=a(10s−1)+b10r(10s−1)
Для того чтобы доказать что n будет делится на 2 или 5 нужно доказать что
a(10^s-1)+b \not \equiv \ 0 \ \mod \ 10^r
число a(10^s-1) максимум может оканчиваться r-1 нулями и b имеет макс s-1 нулей, значит оно всегда будет иметь остаток, откуда и следует утверждение.
Возможно, что при неправильном наборе формул, они будут
доредактированы модератором. При этом содержание не будет меняться.