Математикадан аудандық олимпиада, 2007-2008 оқу жылы, 8 сынып

$ABCD$ трапециясында $BAD$ бұрышы $60{}^\circ $-қа тең. Ал кіші $BC$ табаны 5-ке тең. Егер трапеция ауданы $(AB\cdot BC+AB\cdot CD)/2$ - ға тең болса, онда $CD$ бүйір қабырғасын тап.

Комментарий/решение

Возможно имелось в виду $AD \cdot BC + AB \cdot CD=2S_{ABCD}$ , можно заметить что , по теореме Птолемея $BD \cdot AC \cdot sin 90^{\circ} = AD \cdot BC + AB \cdot CD=2S_{ABCD}$ , то есть около трапеций можно описать окружность , значит это равнобедренная трапеция , $(CD+5) \cdot CD \cdot sin60^{\circ} = 5 \cdot (CD+5) + CD^2 $ или $CD=5+\sqrt{75}$