Городская олимпиада по математике среди физ-мат школАлматы, 2010 год

Для действительных чисел $x, y, z \in (0;1)$ известно, что $8xyz = (1 - x)(1 - y)(1 - z)$. Докажите, что $x+y+z \geq 1$. ( Д. Елиусизов )

Комментарий/решение

$\textbf{Решение:}$ Предположим, что $x+y+z<1$. Тогда $(1-x)(1-y)(1-z)> (y+z)(x+z)(x+y)\geq 2\sqrt{yz}\cdot 2\sqrt{xz}\cdot 2\sqrt{xy}=8xyz$, что противоречит условию. Значит, $x+y+z\geq 1$.