Математикадан Алматы қаласының олимпиадасы, 2010 жыл

$a_1, a_2, \dots, a_n$ бүтін сандар тізбегі арифметикалық прогрессия құрайды, және кез келген $i=1, 2, \dots , n-1$ үшін $a_n$ саны $i$ санына бөлінеді де, және де сол $a_n$ саны $n$ санына бөлінбейді. $n$ санының жай санның дәрежесі екенін дәлелдеңіздер. ( Д. Елиусизов )

Комментарий/решение

Пусть $d$ разность данной арифметикой прогрессии. $a_{i}=a_{1}+(i-1)d \equiv a_{1}-d \pmod i$ при $i=1,2,...,n-1$. Значит $a_{1}-d$ делится на $1,2,...,n-1$. Пусть $n$ имеет хотя бы 2 простых делителя. Обозначим так: $n=p_{1}^{b_{1}}...p_{k}^{b_{k}}$ (это стандартное каноническое разложения). Так как $p_{j}^{b_{j}} \leq n-1$, значит $a_{1}-d$ делится на $p_{j}^{b_{j}}$. Аналогично, понимаем что $a_{1}-d$ делится на $p_{1}^{b_{1}}...p_{k}^{b_{k}}=n$. Противоречия. Значит $n$ имеет только один простой делитель.