Математикадан Алматы қаласының олимпиадасы, 2008 жыл
x,y,z≥0 кез келген нақты сандары үшін x3+y3+z33≥xyz+34|(x−y)(y−z)(z−x)| теңсіздігі орындалатынын дәлелдеңіз.
посмотреть в олимпиаде
Комментарий/решение:
Данное неравенство эквивалентна:
4(x+y+z)(x2+y2+z2−xy−xz−yz)≥9|(x−y)(y−z)(z−x)
Теперь заметим такие 2 неравенства:
2(x+y+z)=(x+y)+(y+z)+(z+x)≥|x−y|+|y−z|+|z−x|≥33√|(x−y)(y−z)(z−x)|
2(x2+y2+z2−xy−yz−zx)=(x−y)2+(y−z)2+(z−x)2≥33√|(x−y)(y−z)(z−x)|2
Если перемножить эти две неравенства тогда выйдет неравенство сверху.
Возможно, что при неправильном наборе формул, они будут
доредактированы модератором. При этом содержание не будет меняться.