Математикадан 30-ші Балкан олимпиадасы, Агрос, Кипр, 2013 жыл

Математикалық олимпиаданың кейбір қатысушылары бір-бірімен достасады (достық өзара болы есептеледі: егер $ A $ қатысушы $ B $-ның досы болса, онда $ B $ қатысушы да $ A $-ның досы). $n \geq 3$ үшін әр түрлі $A_1, A_2, \ldots, A_n$ қатысушыларын әлсіз-достық циклі деп есептейміз, егер барлық $1 \leq i \leq n$ үшін $A_i$ қатысушысы $A_{i+1}$ қатысушысымен достастпаса (мұнда $A_{n+1} = A_1$) және басқа достаспайтын цикл жұбы табылмаса. Оған қоса келесі қасиеттер орындалса:
Кез келген $C$ қатысушысы және құрамында $C$ болмайтын кез келген $S$ әлсіз-достық циклі үшін, $C$-ның достары болмайтын $S$-тің $D$ қатысушылар жиыны кем дегенде бір элементтен тұрады;
Осы олимпиаданың барлық қатысушыларын бір бөлменің кез келген екі қатысушысы дос болатындай үш бөлмеге бөліп отырғызуға болатынын дәлелдеңіздер.