27-я Балканская математическая олимпиадаКишинёв, Молдавия, 2010 год

Полосой ширины $w$ назовем множество всех точек плоскости, лежащих на или между двумя параллельными прямыми, расположенными на расстоянии $w$ друг от друга. Пусть $S$ — множество $n $ ($n \ge 3$) точек на плоскости таких, что любые три различные точки из $S$ могут быть покрыты полосой ширины 1.
Докажите, что множество $S$ может быть покрыто полосой ширины 2.

Комментарий/решение

Возьмем треугольник с наибольшей площадью как $ABC$. Тогда заметим что если проведем прямую параллельную $BC$ тогда все остальные точки не могут быль выше нее, отсюда все точки лежат внутри треугольника $A’B’C’$ где $J’$ отражение $J$ относительно середины ($\forall J=A,B,C$).

Треугольник $ABC$ лежит внутри полоски с шириной 1 и отразив $A$ относительно $B,C$ можно получить треугольник равный $A’B’C’$ и лежит внутри полоски с шириной 2 ч.т.д