Математикадан 27-ші Балкан олимпиадасы, Кишинёв, Молдова, 2010 жыл

$w$ енінің жолағы деп арасы $w$ болатын екі параллель түзудің бойында жататын немесе сол екі параллель түзудің арасында жататын нүктелер жиынын айтамыз. $S$ —тің кез келген үш түрлі нүктесі ені 1 болатын жолақпен жабылатындай жазықтықтың $n $ ($n \ge 3$) нүктесінен тұратын $S$ жиыны берілсін.
$S$ жиынын ені 2 болатын жолақпен жабуға болатынын дәлелдеңіздер.

Комментарий/решение

Возьмем треугольник с наибольшей площадью как $ABC$. Тогда заметим что если проведем прямую параллельную $BC$ тогда все остальные точки не могут быль выше нее, отсюда все точки лежат внутри треугольника $A’B’C’$ где $J’$ отражение $J$ относительно середины ($\forall J=A,B,C$).

Треугольник $ABC$ лежит внутри полоски с шириной 1 и отразив $A$ относительно $B,C$ можно получить треугольник равный $A’B’C’$ и лежит внутри полоски с шириной 2 ч.т.д