Processing math: 100%

Математикадан 26-шы Балкан олимпиадасы, Крагуевац, Сербия, 2009 жыл


Барлық m, nN үшін f((f(m))2+2(f(n))2)=m2+2n2 шарттарын қанағаттандыратындай барлық f:NN функцияларын табыңыздар.
посмотреть в олимпиаде

Комментарий/решение:

  -1
8 года 7 месяца назад #

f(3f2(1))=3

f(3f2(2))=12

...................

f(3f2(n))=3n2

3f2(3f2(n))=27n43f2(x)g(x)g(g(x))=g(x)

g(x)=xf(n)=nf(x)=x

  0
1 года 2 месяца назад #

Пусть A(m,n) — утверждение

f(f2(m)+2f2(n))=m2+2n2.

Прежде всего нужно показать, что f инъективен.

Предположим, f(a)=f(b).

Из A(m,a),A(m,b) следует, что a=b, то есть f, инъективен.

Предположим, f(1)=a.

A(1,1) влечет f(3a2)=3.

Если мы ищем числа m1,m2,n1,n2 такие, что m21+2n21=m22+2n22, мы видим, что

(5,1,3,3),(1,4,5,2) — такие числа.

Теперь A(5a2,1a2) ,A(3a2,3a2) , A(1a2,4a2) и A(5a2,2a2) подразумевают, что

f(2a2)=2,f(5a2)=5,f(a2)=1,f(4a2)=4(базовое вычисление)

Теперь, поскольку x2+2(x+3)2=(x+4)2+2(x+1)2 при условии, что для nx+4 ,f(na2)=n, то это означает, что

из A(xa2,2(x+3)a2),A((x+4)a2,(x+1)a2) то f((x+4)а2)=х+4.

Итак, у нас есть f(na2)=n, но теперь

n=a имеем f(a3)=a=f(1) a=1

f(n)=n, что действительно является решением.