Математикадан 26-шы Балкан олимпиадасы, Крагуевац, Сербия, 2009 жыл
Комментарий/решение:
f(3f2(1))=3
f(3f2(2))=12
...................
f(3f2(n))=3⋅n2
3f2(3f2(n))=27⋅n4⇒3f2(x)∼g(x)⇒g(g(x))=g(x)
g(x)=x⇒f(n)=n⇒f(x)=x
Пусть A(m,n) — утверждение
f(f2(m)+2f2(n))=m2+2n2.
Прежде всего нужно показать, что f инъективен.
Предположим, f(a)=f(b).
Из A(m,a),A(m,b) следует, что a=b, то есть f, инъективен.
Предположим, f(1)=a.
A(1,1) влечет f(3a2)=3.
Если мы ищем числа m1,m2,n1,n2 такие, что m21+2n21=m22+2n22, мы видим, что
(5,1,3,3),(1,4,5,2) — такие числа.
Теперь A(5a2,1a2) ,A(3a2,3a2) , A(1a2,4a2) и A(5a2,2a2) подразумевают, что
f(2a2)=2,f(5a2)=5,f(a2)=1,f(4a2)=4(базовое вычисление)
Теперь, поскольку x2+2(x+3)2=(x+4)2+2(x+1)2 при условии, что для n≤x+4 ,f(na2)=n, то это означает, что
из A(xa2,2(x+3)a2),A((x+4)a2,(x+1)a2) то f((x+4)а2)=х+4.
Итак, у нас есть f(na2)=n, но теперь
n=a имеем f(a3)=a=f(1) ⟹a=1 ⟹
f(n)=n, что действительно является решением.
Возможно, что при неправильном наборе формул, они будут
доредактированы модератором. При этом содержание не будет меняться.