24-я Балканская математическая олимпиадаРодос, Греция, 2007 год

Дан выпуклый четырехугольник $ABCD$, в котором $AB=BC=CD$. Диагонали $AC$ и $BD$ не равны и пересекаются в точке $E$. Докажите, что равенство $AE=DE$ выполняется тогда и только тогда, когда $\angle BAD+\angle ADC = 120^\circ$.

Комментарий/решение

Пусть $\angle ACB=x, \angle DBC=y$. Из равнобедренного треугольника $ACB$ и теоремы синусов мы имеем:

$\frac{AC}{\sin 2x}=\frac{BC}{\sin x} \implies AC=2BC \cdot \cos x$

Из треугольника $CEB$ и теоремы синусов мы имеем:

$\frac{CE}{\sin y}=\frac{CB}{\sin(x+y)} \implies CE=\frac{BC \cdot \sin y}{\sin(x+y)}$

Теперь: $AE=\frac{\sin(2x+y)}{\sin(x+y)}$ и $DE=\frac{\sin(2y+x)}{\sin(x+y)} \implies$

$\frac{\sin(2x+y)}{\sin(x+y)}=\frac{\sin(2y+x)}{\sin(x+y)}$ или $\sin(2x+y)-\sin(2y+x)=0$ и

$2\sin(\frac{x-y}{2}) \cos(\frac{3x+3y}{2})=0$

Откуда $3x+3y=180^\circ$ и $x+y=60^\circ$

$\angle ABC+\angle BCD=240^\circ$

$\implies \angle BAD+\angle ADC=120^\circ$