Математикадан аудандық олимпиада, 2008-2009 оқу жылы, 11 сынып

$ABC$ үшбұрышна іштей сызылған шеңбер $AB$ және $AC$ қабырғаларын $M$ және $N$ нүктелерінде жанайды. $P$ — $MN$ түзуі мен $B$ бұрышының биссектрисасымен (немесе оның созындысымен) қиылысу нүктесі. $BPC$ бұрышы тік болатынын дәлелдеңіз.

Комментарий/решение

Достаточно доказать, что если $P_1$ — точка биссектрисы угла $B$ (или её продолжения), из которой отрезок $BC$ виден под углом $90^{\circ}$, то $P_1$ лежит на прямой $MN$. Точки $P_1$ и $N$ лежат на окружности с диаметром $CO$, где $O$ — точка пересечения биссектрис, поэтому $\angle(P_1N, NC) = \angle(P_1O, OC) = \cfrac{180^{\circ} − \angle A}{2} = \angle (MN, NC)$.

В. В. ПРАСОЛОВ