Леонард Эйлер атындағы олимпиада,2014-2015 оқу жылы, қорытынды кезеңнің 2-ші туры

40 қарақшы екі орынды қайық арқылы сол жағадан оң жағаға ауысты (кейбір рейсті бір ғана қарақшы орындауы мүмкін). Орын ауыстыру кезінде қарақшылардың екі-екіден алған әр жұбы өзенді бірге дәл бір реттен ғана кесуі мүмкін бе (сол жағадан оң жағаға немесе оң жағадан сол жағаға)? ( А. Шаповалов )

Комментарий/решение

Комментарии от администратора Комментарии от администратора №1.     Ответ. Нет, не могло.
Допустим, что могло. Заметим, что лодка должна сделать нечётное число рейсов. Поскольку с парами разбойников она сделала $40 \times 39/2 = 780$ рейсов, то должно быть нечётное число рейсов с одиночными разбойниками. Следовательно, кто-то из разбойников нечётное число раз перегонял лодку в одиночку. Но с другими разбойниками он тоже сделал нечётное число (39) рейсов, поэтому всего — чётное число. Значит, он остался на исходном берегу.