Леонард Эйлер атындағы олимпиада,2014-2015 оқу жылы, қорытынды кезеңнің 1-ші туры

$ABC$ үшбұрышының $AB$ қабырғасы $BC$ қабырғасынан үлкен. $BC$ қабырғасының $C$ нүктесінен әрі қарай созындысынан $2BN=AB+BC$ болатындай $N$ нүктесін белгілеген. $BS$ — $ABC$ үшбұрышының биссектрисасы, $M$ — $AC$ қабырғасының ортасы, ал $L$ нүктесі $BS$ кесіндісіндегі $ML \parallel AB$ болатындай нүкте. $2LN=AC$ екенін дәлелдеңіздер. ( А. Антропов )

Комментарий/решение

Комментарии от администратора Комментарии от администратора №1.     Продлим $BN$ за $N$ и $BL$ за $L$ на отрезки $NN' = BN$ и $LL' = BL$ соответственно. Так как $M$ — середина $AC$ и $ML \parallel AB$, прямая $ML$ содержит среднюю линию $MK$ треугольника $ABC$. Поскольку $L$ — середина $BL'$, эта прямая содержит также среднюю линию $LK$ треугольника $BCL'$; итак, $CL' \parallel LM \parallel AB$. Поэтому $\angle CL'B = \angle L'BA = \angle L'BC$, откуда $CL' = CB$. Далее, $CN' = BN'-BC = 2BN-BC = BA$ и $\angle N'CL' = \angle CBA$. Значит, треугольники $N'CL'$ и $ABC$ равны, и потому $AC = N'L' = 2LN$.

продлим ML до пересечения с BC и назовем точку как K тогда если угол SBC это a то

угол MLтакже a тогда вертикальный угол такой же и тогда LK=BK на отрезке AB отметим такую точку V что BV=BK тогда BS перпендикулярна KV достроим треугольник

LKV до параллелограма LKVZ заметим что точка Z лежит на отрезке AB по правилу параллельности тогда заметим равенство треугольников KBL и KLC тогда CL=VK=LZ

заметим что угол ZMN 180 тогда эти три точки лежат на одной линий тогда LM средняя линия то есть ML=CN и тогда по SAS MLC и LCN тогда LN=MC а 2MC=AC=2LN ч.т.д